Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:
Под углом
между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных
этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1
и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или 
. Поэтому 
. Т.к.
и 
, то
.
Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α 1 и α 2
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит 
.
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .
Таким образом, .
Примеры.
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Пусть М
1 (x
1 , y
1 , z
1) – точка,
лежащая на прямой l
, и 
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z)
и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения прямой.
Замечание 1.
Заметим, что канонические
уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t
. Действительно, из параметрических уравнений получаем 
или .
Пример.
Записать уравнение прямой 
в параметрическом виде.
Обозначим 
,
отсюда x
= 2 + 3t
, y
= –1 + 2t
, z
= 1 –t
.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям 
соответствует прямая перпендикулярная осям Ox
и Oy
или параллельная оси Oz
.
Примеры.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.
Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями
определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Примеры.
Построить прямую, заданную уравнениями 
Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:
Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).
Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :
От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.
Координаты точки
М
1
получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания
направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к
обоим нормальным векторам 
и 
.
Поэтому за направляющий вектор прямой l
можно взять векторное произведение нормальных векторов:
.
Пример.
Привести общие уравнения прямой
к каноническому виду.
Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:
Нормальные векторы
плоскостей, определяющих прямую имеют координаты 
Поэтому направляющий вектор
прямой будет
.
Следовательно, l
: 
.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
Это означает найти угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Пространственная модель иллюстрирующая задачу представлена на рисунке.
План решения задачи:
1. Из произвольной точки A
∈a
опускаем перпендикуляр на плоскость α
;
2. Определим точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью α
. Точка A α
- ортогональная проекция A
на плоскость α
;
3. Находим точку пересечения прямой a
с плоскостью α
. Точка a α
- след прямой a
на плоскости α
;
4. Проводим (A α a α
) - проекцию прямой a
на плоскость α
;
5. Определяем действительную величину ∠Aa α A α
, т. е. ∠φ
.
Решение задачи найти угол между прямой и плоскостью может быть значительно упрощено, если определять не ∠φ между прямой и плоскостью, а дополняющий до 90° ∠γ . В этом случае отпадает необходимость в определении проекции точки A и проекции прямой a на плоскость α . Зная величину γ , вычисляем по формуле:
$ φ = 90° - γ $
a и плоскостью α , заданной параллельными прямыми m и n .
a
α
Вращением вокруг горизонтали заданной точками 5 и 6 определяем натуральную величину ∠γ
. Зная величину γ
, вычисляем по формуле:
$ φ = 90° - γ $
Определение угла между прямой a и плоскостью α , заданной треугольником BCD.
Из произвольной точки на прямой a
опускаем перпендикуляр к плоскости α
Вращением вокруг горизонтали заданной точками 3 и 4 определяем натуральную величину ∠γ
. Зная величину γ
, вычисляем по формуле.
Понятие проекции фигуры на плоскость
Для введения понятия угла между прямой и плоскостью вначале необходимо разобраться в таком понятии, как проекция произвольной фигуры на плоскость.
Определение 1
Пусть нам дана произвольная точка $A$. Точка $A_1$ называется проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha $, если она является основанием перпендикуляра, проведенного из точки $A$ на плоскость $\alpha $ (рис. 1).
Рисунок 1. Проекция точки на плоскость
Определение 2
Пусть нам дана произвольная фигура $F$. Фигура $F_1$ называется проекцией фигуры $F$ на плоскость $\alpha $, составленная из проекций всех точек фигуры $F$ на плоскость $\alpha $ (рис. 2).
Рисунок 2. Проекция фигуры на плоскость
Теорема 1
Проекция не перпендикулярной плоскости прямой является прямая.
Доказательство.
Пусть нам дана плоскость $\alpha $ и пересекающая ее прямая $d$, не перпендикулярная ей. Выберем на прямой $d$ точку $M$ и проведем её проекцию $H$ на плоскость $\alpha $. Через прямую $(MH)$ проведем плоскость $\beta $. Очевидно, что эта плоскость будет перпендикулярна плоскости $\alpha $. Пусть они пересекаются по прямой $m$. Рассмотрим произвольную точку $M_1$ прямой $d$ и проведем через нее прямую $(M_1H_1$) параллельно прямой $(MH)$ (рис. 3).
Рисунок 3.
Так как плоскость $\beta $ перпендикулярна плоскости $\alpha $, то $M_1H_1$ перпендикулярно прямой $m$, то есть точка $H_1$ - проекция точки $M_1$ на плоскость $\alpha $. В силу произвольности выбора точки $M_1$ все точки прямой $d$ проецируются на прямую $m$.
Рассуждая аналогично. В обратном порядке, будем получать, что каждая точка прямой $m$ является проекцией какой-либо точки прямой $d$.
Значит, прямая $d$ проецируется на прямую $m$.
Теорема доказана.
Понятие угла между прямой и плоскостью
Определение 3
Угол между прямой, пересекающей плоскость и её проекцией на эту плоскость, называется углом между прямой и плоскостью (рис. 4).
Рисунок 4. Угол между прямой и плоскостью
Отметим здесь несколько замечаний.
Замечание 1
Если прямая перпендикулярна к плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $90^\circ$.
Замечание 2
Если прямая параллельна или лежит в плоскости. То угол между прямой и плоскостью равен $0^\circ$.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$ и точка $M$, не лежащая в плоскости параллелограмма. Доказать, что треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными, если точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость параллелограмма.
Доказательство.
Изобразим условие задачи на рисунке (рис. 5).
Рисунок 5.
Так как точка $B$ -- проекция точки $M$ на плоскость $(ABC)$, то прямая $(MB)$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По замечанию 1, получаем, что угол между прямой $(MB)$ и плоскостью $(ABC)$ равен $90^\circ$. Следовательно
\[\angle MBC=MBA={90}^0\]
Значит, треугольники $AMB$ и $MBC$ являются прямоугольными.
Пример 2
Дана плоскость $\alpha $. Под углом $\varphi $ к этой плоскости проведен отрезок, начало которого лежит в данной плоскости. Проекция этого отрезка в два раза меньше самого отрезка. Найти величину $\varphi $.
Решение.
Рассмотрим рисунок 6.
Рисунок 6.
По условию, имеем
Так как треугольник $BCD$ прямоугольный, то, по определению косинуса
\ \[\varphi =arccos\frac{1}{2}={60}^0\]
