2. Уравнение Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением.
Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы
и неверным при других ее значениях.
Например, уравнение x + 6 = 7
верно при x = 1
и неверно при x = 2 .
3.
Равносильные уравненияЛинейное уравнение имеет вид ax + by + c = 0 .
Например: 5x – 4y + 6 = 0 .
Выразим y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5 .
Полученное уравнение, равносильное первому, имеет вид
y = kx + m ,
где: x - независимая переменная (аргумент);
y - зависимая переменная (функция);
k и m - коэффициенты (параметры).
4 Эквивалентные уравнения
Два уравнения и называются равносильными (эквивалентными ), если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений и обозначают .
5/Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x :
b
x = – -
a
Это значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax 2 + bx + c = 0,
где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
Если D > 0, то уравнение имеет два корня;
Если D = 0, то уравнение имеет один корень;
Если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).
Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.
6/Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
1. 8/-11/Системы линейных уравнений: основные понятия Система линейных уравнений.
Несовместная и неопределенная системы линейных уравнений. Совокупность линейных уравнений.Совместная и несовместная совокупность линейных уравнений.
Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.
Переменная x i называется разрешенной , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:
1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.
Несколько уравнений образуют Совокупность уравнений
2. 12,13/ Линейное неравенство./ Строгие и нестрогие неравенства Что такое неравенство? Берётся любое уравнение, знак "=" ("равно") заменяется на другой значок (> ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) и получается неравенство.) Уравнение может быть каким угодно: линейным, квадратным,дробным, показательным, тригонометрическим, логарифмическим, и т.д. и т.п. Соответственно, и неравенства у нас получатся линейные, квадратные, и т.д.
Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше (< ) называются строгими. Со значками больше или равно (≥ ), меньше или равно (≤ ) называются нестрогими. Значок не равно (≠ ) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)
Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы...
Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 - верное неравенство. 5 < 2 - неверное.
Линейные, квадратные, дробные, показательные, тригонометрические и прочие неравенства решаются по-разному. На каждый вид - свой способ, свой специальный приём. Но! Все эти специальные приёмы можно применять только к некоему стандартному виду неравенства. Т.е. неравенство любого вида нужно сначала подготовить к применению своего способа.
3. 14,16/Основные свойства неравенств/ . Действия с двумя неравенствами.
1) Если 
2) Свойство транзитивности. Если
3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т.е. если
4) Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, т.е. если
5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если 
6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если
7) Аналогично правилам 5) и 6) действуют правила для деления на одно и то же число. Если 
Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными.
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.
Решить уравнение - это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.
Так вот, главная задача при решении любого уравнения - свести его к простейшим.
Определение 1.
Уравнение f(x)=ф(x) где функции f и ф заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением. ОДЗ этого уравнения - множество всех действительных чисел.
Известно, что алгебраическая сумма и произведение многочленов есть многочлен, поэтому с помощью тождественных преобразований каждое целое рациональное выражение можно представить в виде многочлена и, следовательно, перейти от уравнения к равносильному уравнению
Р (х)=Q(х), где Р (х) и Q(х) - некоторые многочлены с одной переменной х.
Перенося Q(х) в уравнении в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х)-Q(х)=0, где в левой части многочлен, а в правой части 0. Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения.
Так, если в уравнении раскрыть скобки, перенести все члены в левую часть и привести подобные, то получим равносильное уравнение.
Определение 2.
Целым рациональным уравнением степени n стандартного вида называют уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0, где a0!=0.
Как показано выше, всякое целое рациональное уравнение можно привести к равносильному ему уравнению стандартного вида.
В случае, когда a0=1, уравнение имеет вид: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, его называют приведенным целым рациональным уравнением степени n.
Например, x2+ px+q=0 - приведенное квадратное уравнение.
Из определения 2 следует, что решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения.
Существуют формулы вычисления корней и для уравнений третьей и четвертой степеней. Однако эти формулы столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений.
1. 2. Основные методы решения целых рациональных уравнений
Процесс решения уравнений заключается в сведении данного уравнения к линейным или квадратным уравнениям. Для этого применяют два основных метода: 1) разложение на множители и 2) введение новой переменной.
1. 2. 1. Метод разложения на множители
Теорема 1. Уравнение fxxфx=0, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f (x)=0 и ф(x)=0.
Теорема 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.
Теорема 3. Если уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 с целыми коэффициентами имеет рациональный корень x0=pq, где pq - несократимая дробь, то p - делитель свободного члена an, а q - делитель старшего коэффициента a0.
1. 2. 2. Введение новой переменной
Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.
Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.
Замена y = x n (степенная замена)
В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a != 0 приводится к квадратному.
Замена y=Pn(x) или y=√Pn(x) (замена многочлена)
Чаще всего встречается замена y=ax2+bx+c или y=ax2+bx+c
Замена y=Pn(x)Qm(x) (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, Pn(x) и Qm(x) − многочлены степеней n и m соответственно.
В частности, с помощью широко распространённой замены y=x+1x решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.
Покажем, как это делается. Так как a != 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x 2 != 0, получим
А так как x2+1x2=(x+1x)2-2, то после замены y=x+1x уравнение сводится к квадратному ay2+by+c-2a=0.
Дадим два практических совета.
Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.
Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному
Глава 2: Практическая часть
Методы решения одного уравнения
Для решения уравнения несколькими способами выберем уравнение x4+x3-4x2+x+1=0
I метод: неопределенных коэффициентов.
Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x4+x3-4x2+x+1 на двучлен x-1.
x + x - 4· x + x + 1 x - 1 x - x3 x +2· x - 2 x - 1
2x - 4· x + x + 1
2∙ x + x + 1
Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x3+2x2-2x-1 на двучлен x-1.
x + 2· x - 2 x - 1 x - 1 x - x2 x +3· x + 1
3x - 3· x x - 1 x - 1
Осталось решить квадратное уравнение x2+3x+1=0
D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52
Ответ: x=1; x=-3+-52
II метод: разложение на множители.
Распишем 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0
(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x-12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0
Ответ: x=1; x=-3+-52
III метод: как возвратное уравнение.
Смотрим, что коэффициенты симметричны, следовательно это возвратное уравнение. Проверкой можно убедиться, что x = 0 не является корнем уравнения, а значит, уравнение можно почленно разделить на x2.
x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0
Делаем замену переменной: t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2
Тогда уравнение перепишется в виде: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.
Переходим обратно к переменной x.
x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1
Ответ: x=1; x=-3+-52
IV метод: графический.
Перепишем уравнение в виде: x4-4x2=-x3-x-1
Построим на одном чертеже два графика функций: у=x4-4x2; у=-x3-x-1
Построим первую функцию, используя методы математического анализа: у=x4-4x2 у=x4-4x2; у=-x3-x-1 у"=4x3-8x=2x(x2-2) у"=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x= +- 2.
Дополнительные точки: x
Построим вторую функцию, используя методы математического анализа: у=-x3-x-1 у"=-3x2-1
Дополнительные точки: x
Видны 3 точки пересечения, но точное значение можно определить только у одной из них, это недостаток графического решения, а также его недостаток - протяженность во времени.
V метод: общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени (согласно теореме Виета высших степеней)
Уравнение:
(1) имеет четыре корня
Известно, что:
Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:
Составляем квадратное уравнение:
Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая перепишем уравнение (8) в виде:
Решая уравнение (8) получаем:
Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:
Учитывая, что перепишем формулу (7) в виде:
Подставляя в формулу (12) в формулу (11) получаем
Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:
Таким образом, решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (14), где и двух квадратных уравнений:
Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что перепишем ф-лы (15), (16) в виде:
Полное уравнение четвертой степени сводится к уравнению (1) путем замены переменной на переменную.
Итак, решим уравнение x4+x3-4x2+x+1=0.
Сделаем замену:
Тогда уравнение перепишется в виде у4-198у2+258у+125256=0.
Тогда надо решить уравнения:
А также уравнения
Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*) нас приводит к первым трем способам решения, то есть мы делаем работу дважды. Но положительно в этом способе то, что он универсален, то есть подходит к множеству уравнений.
VI метод: по формуле Феррари
Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени.
Пусть ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - общее уравнение 4-й степени.
Если положить x=y-ba, то уравнение (1) можно привести к виду y4+2py2+2qy+r=0 , (2) где p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:
(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)
В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2). Выберем параметр t так,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)
Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид
(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.
Отсюда y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.
Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а следовательно, и (1).
Итак, попробуем решить: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba=y-14 y-144+y-143-4y-142+1=0
(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+116
Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*). Его можно использовать, но он очень энергоемкий. Зато также как и формула Виета, формула Феррари универсальна для любых уравнений четвертой степени.
Заключение
Одно уравнение можно решить несколькими методами. В зависимости от примера нахождение методов решения различно. Для каждого уравнения находится свой оптимальный способ решения.
Данный пример, мы решили 6 методами. Из них мне больше нравится метод разложения на множители, так как он короче и менее трудоемкий.
Для решения именно этого уравнения наиболее оптимальный способ решить как возвратное уравнение. Но этот метод применяется не всегда, так как он не универсален и не во всех случаях подходит.
Метод неопределенных коэффициентов также удобен в этом случае, но не все уравнения имеют целые корни, поэтому оптимален в определенных случаях.
Графический способ решения уравнений энергоемкий и не дает точных ответов. Этот способ удобен для решения задач, где необходимо узнать сколько корней имеет уравнение, а не какие.
Теорема Виета для уравнений высших степеней является универсальным методом. Но его редко используют, так как он трудоемкий.
Для уравнений универсален метод Феррари. Но для этого случая он слишком энергоемкий.
Моя работа значима для учащихся старших классов, которым предстоит встретиться с подобными задачами на Едином государственном экзамене или на вступительных экзаменах в ВУЗы.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
|
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
|
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
|
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
А корнями уравнения являются.
