Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа
называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример
: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например , длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374. Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например , для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Точность измерения
характеризуется с помощью относительной погрешности
.
Относительной погрешностью
приближенного значения х
называется отношение абсолютной погрешности этого значения к модулю точного значения а
:
Если точное значение а
неизвестно, то используют предельную относительную погрешность - такое положительное число δ, что .
Для вычисления относительных погрешностей часто используются приближенные формулы
Эти формулы тем точнее, чем ближе значение х
к точному значению а
, т. е. чем меньше погрешность или Δ.
Пример
. Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности числа 1.41 - приближенного значения числа ? Так как 1,410 < < 1,415, то
Следовательно, можно положить Δ = 0.005. Далее, , откуда δ = 0.0036 или δ = 0.36%.
Говорят, что приближенное значение х
(записанное в виде десятичной дроби) имеет n
верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа меньше или равна половине единицы егоn
-го разряда.
Например
, если 9.263 имеет три верных знака (9, 2 и 6), то абсолютная погрешность этого числа
.
Элементарными функциями называются функции одного аргумента, значения которых получаются с помощью конечного числа вычислительных операций над аргументом, зависимой переменной и постоянными числами. Разложение элементарных функций в степенные ряды
Разложение .
Лемма. Если для любого отрезка при любом , то .
Доказательство. Для произвольного выберем так, чтобы . Применим к формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: , где . По условию, и . По признаку Даламбера ряд с членами сходится (). Поэтому его общий член стремится к 0, значит и при . Ввиду произвольности получаем, что .
Для получения разложения заметим, что , и для любого отрезка . Поэтому лемма применима с , и мы получаем: .
Для нахождения разложения и учтем, что и в лемме можно положить . Поэтому
Разложения для позволяет нам вывести очень важные для дальнейшего формулы Эйлера . Сначала дадим необходимые определения.
Если члены ряда - комплексные числа (), то сходимость ряда означает, что одновременно сходятся ряды и . Абсолютная сходимость ряда , по определению, есть сходимость ряда , т.е. ряда .
Очевидные неравенства показывают, что абсолютная сходимость ряда равносильна одновременной абсолютной сходимости рядов , и абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают всеми свойствами абсолютно сходящихся рядов с действительными членами.
Подставим в разложение для вместо величину . Тогда (пока формально) получим: . Группируя действительные и мнимые слагаемые, получаем: .
Для обоснования законности наших действий заметим, что ряд , как доказано выше, абсолютно сходится, поэтому в нем можно переставить слагаемые (в частности так, как это сделано выше), и сумма его сохранится. Упомянем, что и для .
Если в разложение для подставить вместо число , то получим: . Поэтому из двух полученных формул следует, что . Кроме того, для любого комплексного числа .
Разложение .
Используем равенство: . Разложим в ряд как прогрессию при . . Тогда, интегрируя это разложение, получим: . Это равенство справедливо при . Кроме того, т.к. ряд сходится по теореме Лейбница, равенство сохранится и при .
Разложение .
Разложение .
Если обозначить , то . Поэтому . Это разложение верно для всех , где - радиус сходимости. Для нахождения используем формулу . Кроме того, без доказательства, отметим, что при разложение справедливо и при , а при - для .
В заключение приведем несколько полезных следствий из разложения .
Следствие 1. Легко видеть, . Поэтому при . Полагая , получаем, что и . Этим разложением можно воспользоваться при вычислении логарифмов и при доказательстве формулы Стирлинга.
Следствие 2. Формула Стирлинга.
Приведем эту формулу без доказательства.
9. Приближенное решение алгебраических уравнений
80. Интерполяция
Интерполя́ция , интерполи́рование - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называетсяаппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
§ Точки называют узлами интерполяции , а их совокупность - интерполяционной сеткой .
§ Пары называют точками данных или базовыми точками .
§ Разность между «соседними» значениями - шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным так и постоянным.
§ Функцию - интерполирующей функцией или интерполянтом .
Пример
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :
| 0,8415 | |
| 0,9093 | |
| 0,1411 | |
| −0,7568 | |
| −0,9589 | |
| −0,2794 |
Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).
| 15.5 | |
| ? | |
| 19.2 |
Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения (обозначается х),
т.е. х=х-а - погрешность приближения
откуда х=а + х,
т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности приближения.
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа х.
т.е. -абсолютная погрешность приближения.
Запись х= а h означает, что истинное значение величины х заключено между границами, т.е. а - h х а + h
Пример 1. На предприятии 1284рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 -1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 - 1280 = 4.
Пример 2. Даны приближенные значения числа х= ; Какое из этих трех приближений является лучшим?
Решение:
Находим 
; 
Лучшим приближением числа х
является
Пример 3. Длина детали х (см) заключена в границах 33 х 34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали.
Решение: Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: а=(33+34)/2 = 33,5 (см).
Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см). Величину можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т.е. = (34-33)/2 = 0,5 (см). Длина детали х , найденная с точностью до =0,5 (см), заключена между приближенными значениями числа х :
33,5-0,5 х 33,5+0,5;
х=33,5 0,5 (см).
Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения и обозначается .
Является относительной погрешностью приближения
Пример 1. При измерении длины L и диаметра проводника получили L =(10,0 0,1) м, d = (2,5 0,1) мм. Какое из этих измерений точнее?
Решение: Измерение длины проводника производилось с точностью до 0,1м=100мм, а измерение диаметра проводника – с точностью до 0,1мм.
При измерении длины проводника допускается абсолютная погрешность в 100мм на 10000мм, и, следовательно, допустимая абсолютная погрешность составляет
измеряемой величины.
При измерении диаметра допустимая абсолютная погрешность составляет
измеряемой величины. Следовательно, измерение длины проводника выполнено точнее.
Пример 2. Известно, что 0,111 является приближенным значением для Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближения.
Решение: Здесь х= , а =0,111. Тогда = х-а = 1/9 – 0,111 = 1/9000-а.п.п,
-о.п.п
Пример 3.
В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна или, округленно, %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Пример 4.
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая- 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число - приближенное. Точная масса арбуза неизвестна. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит %.
Комплексные числа.
Графическое изображение комплексных чисел.
Изображение комплексных чисел.
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1.Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом .Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy . Каждому комплексному числу z = a + bi можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + di . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.
Пример. Изобразим на комплексной плоскости числа
Z 1 = 2 + i; z 2 = 3i; z 3 = -3 + 2i; z 4 = -1 – i.
|
|
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
Например, 
Задачи для самостоятельного решения
учитель математики МОУ «Упшинская ООШ»
Оршанского района Республики Марий Эл
(К учебнику Ю.А.Макарычева Алгебра 8)
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,5
у=х 2
у ≈2,3
Найдем значение у при х = 1,5 по формуле
у =1,5 2 = 2,25
Приближенное значение отличается от точного на 2,3 – 2,25 = 0,05
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Найдем по графику значение у при х = 1,8
у=х 2
у ≈3,2
Найдем значение у при х = 1,8 по формуле
у =1,8 2 = 3,24
Приближенное значение отличается от точного на 3,24 – 3,2 = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
х
1,5
Точное значение у
(по формуле)
1,8
2,25
Приближенное значение у (по графику)
3,24
2,3
3,2
у=х 2
Определение. Абсолютной погрешностью
у = 2,3 А.П. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05
у = 3,2 А.П. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 1 пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 2 верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Пример 3 . Старинная русская мера длины сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до десятых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
Решение. 2, 1 3 ≈ 2,1
2,13 – точное значение;
2,1 – приближенное значение.
А.П. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 4 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Всегда ли можно найти абсолютную погрешность?
АВ ≈ 5,3 см
Найдем длину отрезка АВ
Точного значения длины отрезка АВ мы определить не можем, поэтому и абсолютную погрешность приближенного значения найти невозможно.
В подобных случаях в качестве погрешности указывают такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может.
В нашем примере в качестве такого числа можно взять число 0,1.
ПОЧЕМУ? Цена деления линейки равна 0,1 см и поэтому абсолютная погрешность приближенного значения 5,3 не больше 0,1.
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в санти-метрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
t ≈ 28 0 с точностью до 1
t ≈ 14 0 с точностью до 2
Определите точность приближенных значений величин, полученных при измерении приборами, изображенными на рисунках 1- 4
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Говорят, что число 5,3 есть приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью до 0,1
АВ ≈ 5,3 см
Если х ≈ а и абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит некоторого числа h , то число а называют приближенным значением х с точностью до h
х ≈ а с точностью до h
х = а ± h
ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
АВ ≈ 5,3 см
с точностью до 0,1
t ≈ 28 0 с точностью до 1
с точностью до 2
Определение . Относительной погрешностью (точностью) приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности (точности) к модулю приближенного значения
Для оценки качества измерения можно использовать определения относительной погрешности и относительной точности
l = 100,0 ± 0,1
b = 0,4 ± 0,1
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение .
Пример 5 . Старинная русская мера массы пуд равна 16,38. Округлите это значение до целых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 1 6 ,38 ≈ 16
16,38 – точное значение;
16 – приближенное значение.
А.П. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение . Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения
Пример 6 . Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков и найдите относительную погрешность приближенного значения.
Решение. 10 6 7 ≈ 1070
1067 – точное значение;
1070 – приближенное значение.
А.П. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 7 . Представьте дробь в виде бесконечной периодической дроби. Округлите результат до сотых и найдите относительную погрешность приближенного значения.
