\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.
Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.
Теоремы: свойства трапеции
1) Сумма углов при боковой стороне равна \(180^\circ\) .
2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.
Доказательство
1) Т.к. \(AD\parallel BC\) , то углы \(\angle BAD\) и \(\angle ABC\) – односторонние при этих прямых и секущей \(AB\) , следовательно, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\) .
2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
и \(BD\)
– секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\)
как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
.
Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \
Определение
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство*
1) Докажем параллельность.
Проведем через точку \(M\) прямую \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N"\) - середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N"\) совпадут.
2) Докажем формулу.
Проведем \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Пусть \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\) .
Тогда по теореме Фалеса \(M"\) и \(N"\) - середины отрезков \(BB"\) и \(CC"\) соответственно. Значит, \(MM"\) – средняя линия \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) - средняя линия \(\triangle DCC"\) . Поэтому: \
Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB", CC"\perp AD\) , то \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B"M"=M"B\) . Значит, \(B"M"N"C"\) и \(BM"N"C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Таким образом:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Теорема: свойство произвольной трапеции
Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.
1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.
Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .
2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.
Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .
\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]
Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]
Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .
\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]
Определения
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Теоремы: свойства равнобедренной трапеции
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.
Доказательство
1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .
Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .
Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .
3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.
Теоремы: признаки равнобедренной трапеции
1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Доказательство
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .
Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .
В итоге \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.
2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.
Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.
Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .
— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.
Элементы трапеции
a, b — основания трапеции (a параллельно b ),
m, n — боковые стороны трапеции,
d 1 , d 2 — диагонали трапеции,
h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),
MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).
Площадь трапеции
- Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
- Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
- Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}
Свойства трапеции
Средняя линия трапеции
Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:
MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}
Сумма углов трапеции
Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :
\alpha + \beta = 180^{\circ}
\gamma + \delta =180^{\circ}
Равновеликие треугольники трапеции
Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.
Подобие образованных треугольников трапеции
Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.
\triangle AOD \sim \triangle COB
Коэффициент подобия k находится по формуле:
k = \frac{AD}{BC}
Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .
Отношение длин отрезков и оснований
Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:
\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}
Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.
Описанная около трапеции окружность
Каждая равнобокая трапеция может содержать описанную окружность . Только равнобокую трапецию возможно вписать в окружность.
Вписанная в трапецию окружность
Треугольники AOB и DOC являются прямоугольными, если трапеция ABCD описана около окружности. Центром же вписанной окружности будет являться точка O .
Опущенные на гипотенузы, высоты этих треугольников, тождественны радиусу вписанной окружности, а высота трапеции тождественна диаметру вписанной окружности.
В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.
Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.
Трапеция и все-все-все
Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.
Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.
В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.
Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.
Свойства диагоналей трапеции
Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.
- Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
- Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 . - Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
- Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т. - Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
- А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .
Свойства средней линии трапеции
Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.
- Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
- Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.
Свойство биссектрисы трапеции
Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.
Свойства углов трапеции
- Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
- Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
- Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.
Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
- В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
- Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
- Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
- Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
- Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
- Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
- Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
- На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .
Свойства трапеции, вписанной в окружность
Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.
- Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
- Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
- Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
- Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
- Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
- Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .
Свойства трапеции, описанной около окружности
Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.
- Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
- У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
- Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
- Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
- И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.
Свойства прямоугольной трапеции
Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.
- У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
- Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
- Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.
Доказательства некоторых свойств трапеции
Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:
- Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).
Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.
АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.
Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ.
Что и требовалось доказать.
Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :
- Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).
∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.
МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.
У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.
Задача для повторения
Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.
Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.
Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).
Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.
Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .
Послесловие
Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.
Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.
Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Тра-пе-ция
1. Трапеция и её виды
Опре-де-ле-ние
Тра-пе-ция - это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го две сто-ро-ны па-рал-лель-ны, а две дру-гие - нет.
На Рис. 1. изоб-ра-же-на про-из-воль-ная тра-пе-ция. - это бо-ко-вые сто-ро-ны (те, ко-то-рые не па-рал-лель-ны). - ос-но-ва-ния (па-рал-лель-ные сто-ро-ны).
Рис. 1. Тра-пе-ция
Если срав-ни-вать тра-пе-цию с па-рал-ле-ло-грам-мом, то у па-рал-ле-ло-грам-ма две пары па-рал-лель-ных сто-рон. То есть па-рал-ле-ло-грамм не яв-ля-ет-ся част-ным слу-ча-ем тра-пе-ции, так как в опре-де-ле-нии тра-пе-ции чётко ска-за-но, что две сто-ро-ны тра-пе-ции не па-рал-лель-ны.
Вы-де-лим неко-то-рые виды тра-пе-ции (част-ные слу-чаи):
2. Средняя линия трапеции и её свойства
Опре-де-ле-ние
Сред-няя линия тра-пе-ции - от-ре-зок, со-еди-ня-ю-щий се-ре-ди-ны бо-ко-вых сто-рон.
На Рис. 2. изоб-ра-же-на тра-пе-ция со сред-ней ли-ни-ей .
Рис. 2. Сред-няя линия тра-пе-ции
Свой-ства сред-ней линии тра-пе-ции:
1. Сред-няя линия тра-пе-ции па-рал-лель-на ос-но-ва-ни-ям тра-пе-ции.
До-ка-за-тель-ство:
Пусть се-ре-ди-на бо-ко-вой сто-ро-ны тра-пе-ции - точка . Про-ве-дём через эту точку пря-мую, па-рал-лель-ную ос-но-ва-ни-ям. Эта пря-мая пе-ре-се-чёт вто-рую бо-ко-вую сто-ро-ну тра-пе-ции в точке .
По по-стро-е-нию: . По тео-ре-ме Фа-ле-са из этого сле-ду-ет: . Зна-чит, - се-ре-ди-на сто-ро-ны . Зна-чит, - сред-няя линия.
До-ка-за-но.
2. Сред-няя линия тра-пе-ции равна по-лу-сум-ме ос-но-ва-ний тра-пе-ции: .
До-ка-за-тель-ство:
Про-ве-дём сред-нюю линию тра-пе-ции и одну из диа-го-на-лей: на-при-мер, (см. Рис. 3).
По тео-ре-ме Фа-ле-са па-рал-лель-ные пря-мые от-се-ка-ют на сто-ро-нах угла про-пор-ци-о-наль-ные от-рез-ки. Так как равны от-рез-ки: . Зна-чит, от-ре-зок яв-ля-ет-ся сред-ней ли-ни-ей тре-уголь-ни-ка , а от-ре-зок - сред-ней ли-ни-ей тре-уголь-ни-ка .
Зна-чит, .
При-ме-ча-ние: это сле-ду-ет из свой-ства сред-ней линии тре-уголь-ни-ка: сред-няя линия тре-уголь-ни-ка па-рал-лель-на ос-но-ва-нию и равна его по-ло-вине. Пер-вая часть этого свой-ства до-ка-зы-ва-ет-ся ана-ло-гич-но с до-ка-за-тель-ством пер-во-го свой-ства сред-ней линии тра-пе-ции, а вто-рую часть можно до-ка-зать (к при-ме-ру, для сред-ней линии тре-уголь-ни-ка ), про-ве-дя через точку пря-мую, па-рал-лель-ную . Из тео-ре-мы Фа-ле-са будет сле-до-вать, что эта пря-мая будет яв-лять-ся сред-ней ли-ни-ей, а об-ра-зо-ван-ный че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грам-мом (две пары по-пар-но па-рал-лель-ных сто-рон). От-сю-да уже неслож-но по-лу-чить тре-бу-е-мое свой-ство.
По-лу-ча-ем: .
До-ка-за-но.
Рас-смот-рим те-перь по-дроб-нее ос-нов-ные виды тра-пе-ции и их свой-ства.
3. Признаки равнобедренной трапеции
На-пом-ним, что рав-но-бед-рен-ная тра-пе-ция - тра-пе-ция, у ко-то-рой бо-ко-вые сто-ро-ны равны. Рас-смот-рим свой-ства бо-ко-вой тра-пе-ции.
1. Углы при ос-но-ва-нии рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции равны.
До-ка-за-тель-ство:
Вы-пол-ним стан-дарт-ное до-пол-ни-тель-ное по-стро-е-ние, ко-то-рое очень часто ис-поль-зу-ет-ся при ре-ше-нии раз-лич-ных задач на тра-пе-цию: про-ве-дём пря-мую па-рал-лель-но бо-ко-вой сто-роне (см. Рис. 4).
Па-рал-ле-ло-грамм.
От-сю-да сле-ду-ет, что: . Зна-чит, тре-уголь-ник - рав-но-бед-рен-ный. А зна-чит, углы при его ос-но-ва-нии равны, то есть: (по-след-ние два угла равны, как со-от-вет-ствен-ные при па-рал-лель-ных пря-мых ).
До-ка-за-но.
2. Диа-го-на-ли рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции равны.
До-ка-за-тель-ство:
Для до-ка-за-тель-ства этого свой-ства вос-поль-зу-ем-ся преды-ду-щим. Дей-стви-тель-но, рас-смот-рим тре-уголь-ни-ки: и (см. Рис. 5.).
(по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: две сто-ро-ны и угол между ними).
Из этого ра-вен-ства сразу сле-ду-ет, что: .
До-ка-за-но.
Ока-зы-ва-ет-ся, что, как и в слу-чае с па-рал-ле-ло-грам-мом, у рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции свой-ства од-но-вре-мен-но яв-ля-ют-ся и при-зна-ка-ми. Сфор-му-ли-ру-ем и до-ка-жем эти при-зна-ки.
При-зна-ки рав-но-бед-рен-ной тра-пе-ции
1. Дано: - тра-пе-ция; .
До-ка-зать:
До-ка-за-тель-ство:
До-ка-за-тель-ство дан-но-го при-зна-ка аб-со-лют-но ана-ло-гич-но до-ка-за-тель-ству со-от-вет-ству-ю-ще-го свой-ства. Про-ве-дём в тра-пе-ции пря-мую па-рал-лель-но сто-роне (см. Рис. 6).
(со-от-вет-ствен-ные углы при па-рал-лель-ных пря-мых). От-ку-да, поль-зу-ясь усло-ви-ем, по-лу-ча-ем: - рав-но-бед-рен-ный
(равны углы при ос-но-ва-нии). Зна-чит: (у па-рал-ле-ло-грам-ма про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны).
До-ка-за-но.
2. Дано: - тра-пе-ция; .
До-ка-зать: .
До-ка-за-тель-ство:
Вы-пол-ним ещё одно стан-дарт-ное до-пол-ни-тель-ное по-стро-е-ние при ре-ше-нии задач с тра-пе-ци-ей: про-ве-дём через вер-ши-ну пря-мую па-рал-лель-но диа-го-на-ли (см. Рис. 7).
Па-рал-ле-ло-грамм (две пары по-пар-но па-рал-лель-ных сто-рон).
(со-от-вет-ствен-ные углы при па-рал-лель-ных пря-мых). Кроме того, - рав-но-бед-рен-ный ( - по усло-вию; - по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма). А зна-чит: .
До-ка-за-но.
4. Примеры задач
Рас-смот-рим несколь-ко при-ме-ров ре-ше-ния задач с тра-пе-ци-ей.
При-мер 1.
Дано: - тра-пе-ция; .
Ре-ше-ние:
Сумма углов при бо-ко-вой сто-роне тра-пе-ции равна - свой-ство внут-рен-них од-но-сто-рон-них углов при па-рал-лель-ных пря-мых. Из этого факта можно по-лу-чить два ра-вен-ства:
При-мер 2.
Дано: - тра-пе-ция; . .
Ре-ше-ние:
Про-ве-дём вы-со-ту . По-лу-ча-ем че-ты-рёх-уголь-ник , в ко-то-ром про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны, а два углы равны по . Зна-чит, - па-рал-ле-ло-грамм, а точ-нее, пря-мо-уголь-ник.
Из этого сле-ду-ет, что . От-ку-да: .
Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ный тре-уголь-ник . В нём один из ост-рых углов, по усло-вию, равен . Зна-чит, вто-рой равен , то есть: . Вос-поль-зу-ем-ся свой-ством ка-те-та, ле-жа-ще-го про-тив угла : он в два раза мень-ше ги-по-те-ну-зы.
На этом уроке мы рас-смот-ре-ли по-ня-тие тра-пе-ции и её свой-ства, изу-чи-ли виды тра-пе-ции, а также ре-ши-ли несколь-ко при-ме-ров ти-по-вых задач.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya
http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg
http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg
http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif
Трапеция. Задача на среднюю линию трапеции.
http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg
http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg