Количество трехзначных чисел. Размещения. Сколько вариантов расписания можно составить. Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке. Выбор и перестановка объектов. Состав выбранных объектов. Количество перестановок. Сочетания. Формула перестановки. Количество возможных вариантов сочетаний. В турнире участвуют семь команд. Комбинации. Сколькими способами можно сформировать бригаду.
««Вероятность» 9 класс» - Найти ожидаемое число карасей. Наименьшее из двух выпавших очков. Число очков кратно 3. Испытание Бернулли. Выпавшее число очков. Число очков, выпавших на одной игральной кости. Вероятность успеха. Свойства дисперсии. Теория вероятностей и статистика. Математическое ожидание случайной величины. Распределение случайной величины. Дисперсия числа успехов. Наибольшее из двух выпавших очков. Сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости.
«Алгебра «Геометрическая прогрессия»» - Записать первые пять членов геометрической прогрессии. Выберите утверждение, которое подходит вам. Определение геометрической прогрессии. Проверка выполнения. Напишите в один из столбиков любую последовательность чисел. Геометрическая прогрессия. «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед…» Айвен Нивен. Математический диктант. Личностные цели. Физкультминутка. Сравните математические объекты в каждой группе.
«Понятие алгебраической дроби» - Возведение рациональной дроби в отрицательную степень. Выполните деление. Степень с натуральным и целым показателем. Привести к многочлену стандартного вида. Действия с алгебраическими дробями. Способы разложения многочлена на множители. Алгебраическая дробь – это выражение. Выполните устно. Найдите числовое значение выражения, предварительно упростив его. Многочленом называется сумма одночленов. Проверьте, верно, ли выполнено действие.
««Квадратичная функция» 9 класс» - Y=a(x-m)2 + n. Свойства квадратичной функции. Функция у = ах2 + g. Ветви параболы направлены вверх. Сдвиг графика функции y = ax2 вдоль осей координат. Свойства функции. График. Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой. Функция у = а(х – р). График функции. График и свойства функции y=ax2. Построим график функции y=x2-4x+5. Схема построения параболы. Функция y=x2. Построение параболы по точкам.
««Числовые функции» 9 класс» - Абсциссы точек пересечения с осью ОХ. Определение функции. Нули функции. Область определения функции. Функцию y = f(x), называют нечетной. Свойства функций. Область значений функции. Монотонность. Четные и нечетные функции (четность и нечетность). Числовые функции.
Любая десятичная дробь может быть записана в виде a ,bc ... · 10 k . Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.
Сегодня мы научимся приводить к такому виду любую десятичную дробь. Заодно убедимся, что подобная запись - это уже «перебор», и никаких преимуществ в большинстве случаев она не дает.
Для начала - небольшое повторение. Как известно, десятичные дроби можно умножать не только между собой, но и на обычные целые числа (см. урок « »). Особый интерес представляет умножение на степени десятки. Взгляните:
Задача. Найдите значение выражения: 25,81 · 10; 0,00005 · 1000; 8,0034 · 100.
Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:
Для первого выражения: 25,81 · 10.
- Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
- Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
- Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.
Для второго выражения: 0,00005 · 1000.
- Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
- Умножаем: 5 · 1 = 5;
- Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.
Последнее выражение: 8,0034 · 100.
- Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
- Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
- Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.
Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:
- 25,81 · 10 1 = 258,1;
- 0,00005 · 10 3 = 0,05;
- 8,0034 · 10 2 = 800,34.
Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k (где k > 0) равносильно сдвигу десятичной точки вправо на k разрядов. Именно вправо - ведь число увеличивается.
Аналогично, умножение на 10 −k (где k > 0) равносильно делению на 10 k , т.е. сдвигу на k разрядов влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:
Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008: 10; 1,447: 100;
Во всех выражениях второе число - степень десятки, поэтому имеем:
- 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
- 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
- 1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.
Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например: 137,25 = 13,725 · 10 1 = 1,3725 · 10 2 = 0,13725 · 10 3 = ...
Стандартный вид числа - это выражения вида a ,bc ... · 10 k , где a , b , c , ... - обычные цифры, причем a ≠ 0. Число k - целое.
- 8,25 · 10 4 = 82 500;
- 3,6 · 10 −2 = 0,036;
- 1,075 · 10 6 = 1 075 000;
- 9,8 · 10 −6 = 0,0000098.
Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.
Переход к стандартному виду
Алгоритм перехода от обычной десятичной дроби к стандартному виду очень прост. Но перед тем как его использовать, обязательно повторите, что такое значащая часть числа (см. урок «Умножение и деление десятичных дробей »). Итак, алгоритм:
- Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
- Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k ;
- Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10 k . Если больше - дописать множитель 10 −k . Это выражение и будет стандартным видом.
Задача. Запишите число в стандартном виде:
- 9280;
- 125,05;
- 0,0081;
- 17 000 000;
- 1,00005.
- 9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 < 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
- 125,05 → 1,2505. Сдвиг - на 2 разряда влево, число уменьшилось (1,2505 < 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
- 0,0081 → 8,1. В этот раз сдвиг произошел вправо на 3 разряда, поэтому число увеличилось (8,1 > 0,0081). Результат: 8,1 · 10 −3 ;
- 17000000 → 1,7. Сдвиг - на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат: 1,7 · 10 7 ;
- 1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: 1,00005 · 10 0 (бывает и такое!).
Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например: 812 000 = 8,12 · 10 5 ; 6 500 000 = 6,5 · 10 6 .
Когда применять стандартную запись
По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:
- Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
- Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры - как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
- Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.
Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.
Замечательно свойство дробей, записанных в стандартном виде, заключается в том, что к их значащей части можно приписывать любое количество нулей - как слева, так и справа. Аналогичное правило существует для других десятичных дробей (см. урок «Десятичные дроби »), но там есть свои ограничения.
Задача. Сравните числа:
- 8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 ;
- 2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 .
- 8,0382 · 10 6 и 1,099 · 10 25 . Оба числа положительные, причем у первого степень десятки меньше, чем у второго (6 < 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 и 2,5 · 10 −4 . Числа снова положительные, причем степень десятки у первого из них больше, чем у второго (3 > −4). Следовательно, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
- 2,215 · 10 11 и 2,64 · 10 11 . Числа положительные, степени десятки совпадают. Смотрим на значащую часть: первые цифры тоже совпадают (2 = 2). Различие начинается на второй цифре: 2 < 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 и −3,28 · 10 4 . Это отрицательные числа. У первого степень десятки меньше (3 < 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 > −3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 и −1,001498 · 10 −8 . Снова отрицательные числа, причем степени десятки совпадают. Также совпадают и первые 4 разряда значащей части (1001 = 1001). На 5 разряде начинается отличие, а именно: 5 > 4. Поскольку исходные числа отрицательные, заключаем: −1,0015 · 10 −8 < −1,001498 · 10 −8 .
Хотели бы вы научиться записывать огромные или очень маленькие числа в простой форме? Эта статья содержит необходимые объяснения и очень четкие правила о том, как это сделать. Теоретический материал поможет разобраться в этой довольно легкой теме.
Очень большие значения
Допустим, есть некоторое число. Смогли бы вы быстро сказать, как оно читается или насколько велико его значение?
100000000000000000000
Бессмыслица, не так ли? Мало кто сможет справиться с таким заданием. Даже если и существует конкретное имя для такой величины, на практике его можно и не вспомнить. Вот почему вместо этого принято использовать стандартный вид. Это намного проще и быстрее.
Стандартный вид
Термин может означать много разных вещей, в зависимости от того, с какой областью математики мы имеем дело. В нашем случае это еще одно название научной записи числа.
Она действительно проста. Выглядит следующем образом:
В этих обозначениях:
a - это число, которое называется коэффициентом.
Коэффициент должен быть больше или равен 1, но меньше 10.
«x» - знак умножения;
10 является основой;
n - показатель, степень десятки.
Таким образом, полученное выражение читается как "a на десять в n-й степени".
Возьмем конкретный пример для полного понимания:
2 x 10 3
Умножив число 2 на 10 в третьей степени, получаем в результате 2000. То есть имеем пару равносильных вариантов записи одного и того же выражения.
Алгоритм преобразования
Возьмем некоторое число.
300000000000000000000000000000
В подсчетах использовать такое число неудобно. Попробуем привести его к стандартному виду.
- Подсчитаем количество нулей, лежащих по правую сторону от тройки. Получим двадцать девять.
- Отбросим их, оставив лишь однозначное число. Оно равно трем.
- Допишем к результату знак умножения и десять в степени, найденной в пункте 1.
Вот так просто можно получить ответ.
Если бы перед первой ненулевой цифрой были бы еще другие, то алгоритм слегка бы изменился. Пришлось бы выполнять те же действия однако, величина показателя вычислялась бы по нулям слева и имела бы отрицательно значение.
0.0003 = 3 x 10 -4
Преобразование числа облегчает и ускоряет математические подсчеты, делает запись решения более компактной и наглядной.
Все положительные числа, все десятичные дроби записываются в десятичной системе исчисления. Она имеет всего 10 цифр:
{0, 1, 2, … 9}
Цифр мало - 10 штук, а чисел - бесчисленное множество. Это великолепие десятичной позиционной системы исчисления. В ней важна не только сама цифра, но и то место (разряд), которая она занимает.
Пример.
Папа дал 300 рублей, мама - 20 рублей, а бабушка - 7 рублей. В результате,
327 = 3∙10 2 + 2∙10 +7.
Дробь 0,327 записывается по убывающим степеням основания.
0,327 = 3∙10 -1 + 2∙10 -2 + 7∙10 -3
Итак, мы вспомнили десятичную систему исчисления, в ней записываются определенным образом все положительные числа, все дроби. Так для чего же еще нужен стандартный вид числа?
Для ответа на этот вопрос рассмотрим некоторые большие и достаточно малые числа.
Например, расстояние до Солнца - 150 000 000 км.
Но его можно записать иначе - 1,5∙10 8 км. Эта запись верна и смотрится компактнее.
Вторым примером будет диаметр молекулы воды (d = 0,0000000003 м)
Запишем его более компактно: d = 3∙10 -10
Это примеры записи числа в стандартном виде. Здесь использовались степени десятки. Прежде чем дать определение стандартного вида числа, необходимо вспомнить степени и действия со степенями.
Определение
Стандартным видом положительного числа «а» называют его представление в виде
где а 0 є }
